linenn

Angles entiers

jp — 2010-06-08T18:06:00+01:00

Certains triangles à côtés entiers $x$, $y$, $z$ permettent de construire avec une bonne approximation des angles de valeurs données. Les données ci-dessous correspondent aux mesures entières en degrés de l'angle $a=$ 1°, 2°, 3° etc. On pourrait très bien choisir d'autres valeurs.

L'angle $a$ a pour côtés $x$ et $y$ , tandis que le côté $z$ est opposé.

$\displaystyle \cos a = \frac{x^2 + y^2 - z^2}{2xy}$ et $z = \sqrt{x^2 + y^2 -2xy \cos a$

L'approximation est inférieure à la valeur indiquée dans la dernière colonne du tableau. Le côté $x$ est supérieur ou égal à $y$ et dans les tableaux on s'est limité à calculer les valeurs $x \le 1000$.
On obtient une très bonne approximation par défaut d'un angle de $1$ degré en prenant $x=5\,101$, $y=2\,871$, $z=2\,231$, l'erreur est inférieure à $0.000\,000\,004$ degré.

La figure suivante montre le partage d'un angle de 360° utilisant deux cercles concentriques de rayons $x$ et $y$ à l'aide d'un compas dont l'écartement est $z$. Pour un angle $a=24$degrés, on peut prendre par exemple les rayons $x=75$mm, $y=63$mm et l'ouverture de compas $z=31$mm, ces valeurs se trouvent dans l'un des tableaux.

Un Prix du Millénaire pour Grigori Perelman

jp — 2010-03-31T18:54:00+01:00

Le Prix du Millénaire revient à Grigori Perelman pour sa résolution de la très difficile conjecture de Poincaré.

La première récompense d'un million de dollars attribuée par le « Clay Mathematics Institute » revient à Grigori Perelman

Présentation par Michael Atiyah à Paris en 2000

Le mercredi 8 août 1900, lors du second Congrès International des Mathématiciens, David Hilbert exposa les vingt-trois grands problèmes mathématiques qu'il considérait les plus importants.
Cent ans plus tard certains de ces problèmes restaient encore sans solution.
L'Institut Clay décida d'attribuer un prix pour la résolution de sept problèmes, ce qui fut annoncé lors d'un meeting commémoratif au Collège de France le 24 mai 2000 à Paris, un siècle après le congrès de 1900.

Sur les mathématiques de la fin du 19ème et du 20ème siècles, je conseille la lecture du passionnant et documenté livre de Jeremy J. Gray
"Le Défi de Hilbert, un siècle de mathématiques", introduction de Pierre Cartier. Dunod UniverSciences mai 2003.

Le Défi de Hilbert

Articles de G. Perelman sur arxiv.org

Atiyah : pensées par Joël Merker. Images des Mathématiques, CNRS, 2010.
Michael Atiyah (né en 1929) a reçu la médaille Fields au Congrès International des Mathématiciens en 1966 à Moscou et a obtenu le prix Abel en 2004. Il est membre des Académies Nationales de France, de Suède et des États-Unis.

Balance

jp — 2010-03-04T16:55:00+01:00

Sur un sujet qui rappelle le dilemme itéré du prisonnier
Un petit film réalisé par Christoph Lauenstein et Wolfgang Lauenstein d'une durée de 7 min. diffusé sur Arte. et que l'on peut voir durant plusieurs jours sur le site web.

Visionner sur site

On peut voir ce film durant plusieurs jours sur http://plus7.arte.tv/fr/

Sauvegarde

Pour télécharger le film et le voir plus tard, vous pouvez opérer comme suit :
1) afficher le code source de la page http://plus7.arte.tv/fr/1697660,CmC=3087364.html
2) chercher la partie suivante du code (repérer "WMV" et "HQ")

    availableFormats[3] = new Object();
    availableFormats[3]["format"] = "WMV";
    availableFormats[3]["quality"] = "HQ";
    availableFormats[3]["url"] = "http://artestras.wmod.rd.llnw.net/geo/arte7/EUR_DE_FR/arteprod/A7_SGT_ENC_07_001881-000-B_PG_HQ_FR.wmv";
    availableFormats[3]["fileId"] = "3091876";
    availableFormats[3]["trackingUri"] = "/fr/3087364,templateId=countStats,noncache=true,CmPart=com.arte-tv.streaming.countme?track=ZnIvMzA4NzM2NC8zMDkxODc2LzAtMTg0NDE0LjEtMTYzMDk5Mi4xLTE2MzA5ODguMi0wMzAzMTAvMTI2ODI2NDA2ODAwMC9mYWxzZS85NDhiOWFlZDJjNGE0ZDVkZGM2YmY0ZTYwZWY2YzRmNmY3ZGU0NTA5ZjNkNjRjNTRmYzY3YTU1YmViODM1NDI0";

3) télécharger et lire le fichier
"http://artestras.wmod.rd.llnw.net/geo/arte7/EUR_DE_FR/arteprod/A7_SGT_ENC_07_001881-000-B_PG_HQ_FR.wmv"

<ASX VERSION="3.0">
  <ENTRY>
    <REF HREF="mms://artestras.wmod.llnwd.net/a3903/o35/geo/arte7/EUR_DE_FR/arteprod/A7_SGT_ENC_07_001881-000-B_PG_HQ_FR.wmv?e=1267720301&h=1a429868fa7e9a8bd09093b92173e822"/>
  </ENTRY>
</ASX>

4) télécharger le film à l'aide de mplayer, vlc, xine... ou mieux : mimms

mimms "mms://artestras.wmod.llnwd.net/a3903/o35/geo/arte7/EUR_DE_FR/arteprod/A7_SGT_ENC_07_001881-000-B_PG_HQ_FR.wmv?e=1267720301&h=1a429868fa7e9a8bd09093b92173e822" Balance.wmv

5) visionner le film

Outils de récupération

Sous Linux, vous pouvez installer différents outils pour simplifier cette recherche.
1) arteplus7 dont il faudrait retrouver l'adresse !
2) que je n'ai pas essayé : http://gitorious.org/totem-plugin-arte

Coopérer ou non

Des effets néfastes d'un manque de coopération !
Sur le même sujet, voir Le dilemme itéré du prisonnier

Jeu du triangle retourné

jp — 2010-03-04T01:30:00+01:00

Triangle équilatéral

Retournez le triangle en déplaçant un minimum de pièces du triangle.

Triangle retourné

Recommencez avec un nombre différent de pièces : n = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6... sur les côtés, le nombre total de pièces du triangle est n(n+1)/2, c'est-à-dire 0, 1, 3, 6, 10, 15, 21...

Vous pouvez bien évidemment utiliser des pions, des jetons, des cailloux... et non des pièces de monnaie.

La solution minimale est expliquée ici PDF, mais cherchez-la auparavant.

Aires de rectangles sur damiers

jp — 2010-02-19T18:44:00+01:00

Aires colorées

Tracez un rectangle dont les côtés sont parallèles aux lignes horizontales ou verticales du damier.
Les cases d'un damier sont alternativement noires (grises sur le schéma) ou blanches et la surface du rectangle se partage entre une partie noire et une partie blanche.

À quelle condition les aires des deux parties noires et blanches du rectangle sont-elles égales ?

Ces rectangles ont la propriété des aires égales

Am Stram Gram

jp — 2010-02-17T21:56:00+01:00

SCIgen - An Automatic CS Paper Generator Essayez ce générateur automatique d'articles scientifiques.

Un pseudo-article

Utilisez SCIgen qui vous écrira un pseudo article scientifique comme celui que vous voyez ci-dessus. Un texte totalement dénué de sens mais qui présente bien, qui a l'odeur et la saveur d'un grand nombre d'articles qui, une fois analysés, se réduiraient à une ou deux lignes – titre inclus –
Ensuite soumettez pour publication cet article à une revue scientifique.

C'est ce qu'on fait trois étudiants de "PDOS research group at MIT CSAIL" et leur article a été accepté pour publication.

L'expérience d'Alan Sokal

Alan Sokal est un physicien qui, trouvant que nombre d'articles scientifiques manquaient de sérieux, a tenté une expérience similaire.


...
For some years I've been troubled by an apparent decline in the
standards of intellectual rigor in certain precincts of the
American academic humanities. 
...

Allez sur la page web d'Alan Sokal pour lire tous les détails.

Alan Sokal et Jean Bricmont on écrit en Français le livre "Impostures Intellectuelles" aux Éditions Odile Jacob.
Je vous recommande la vidéo de la conférence donnée par Jean Bricmont en 2004 lors du Séminaire général du Département de physique de l’ENS

George Boole fait la différence

jp — 2010-02-16T00:10:00+01:00

$$\sum_{i=0}^n i^3 = \left(\sum_{i=0}^n i\right)^2$$

Démonstration : l'égalité est vraie pour $n = 0, 1, 2, 3, 4$ donc est vraie pour tout $n$.

Algébrisation

J'ai pris la liberté de modifier une borne de l'égalité de la page 8 de l'article [1], on comprendra pourquoi.
Ce qui m'intéresse dans la démonstration est qu'elle repose – sans le dire – sur une étude par George Boole des différences finies. Ces différences sont les termes i³ et i des sommes, elles sont des polynômes de degrés 3 et 1 de la variable i. Les deux membres sont donc des polynômes de mêmes degrés 3+1=4 et (1+1)×2=4. Il n'est même pas nécessaire de déterminer les polynômes, il suffit montrer que l'égalité est vraie en 5 points distincts (des valeurs des indices), par exemple en 0, 1, 2, 3, 4. Si c'est le cas les polynômes sont aussi identiques, (identiques dans N ou Z et aussi dans Q, R ou C).

Aujourd'hui encore on peut se procurer le livre [3] "Calculus of Finite Differences" de Georges Boole (une dizaine d'euros sur le web).

Je n'ai pas trouvé dans ce livre de raisonnement semblable à celui de [1]. Si on y trouve bien que la différence première d'un polynôme de degré n est un polynôme de degré n-1, une réciproque n'apparaît qu'au moment de l'expression du polynôme à partir de ses différences finies. Notations ci-dessous x⁽²⁾=x(x-1), x⁽³⁾=x(x-1)(x-2) etc.

Documents, prolongements

[1] An Enquiry Concerning Human (and Computer!) [Mathematical] Understanding par Doron Zeilberger.

Je recommande la vidéo [2] dans laquelle Pierre Cartier explique cette "algébrisation" qui remonte donc, pour nos polynômes, au moins à George Boole. [2] L’algebrisation du continu : de Boole à Sato par Pierre Cartier.

[3] "Calculus of Finite Differences" de George Boole, 368 pages, "Forgotten Books".

La lettre de Grothendieck

jp — 2010-02-12T19:46:00+01:00

« Déclaration d'intention de non-publication par Alexandre Grothendieck »

Cette citation débute une lettre récente publiée sur le web et attribuée à Alexandre Grothendieck (médaillé Fields en 1966).
Les travaux de réédition de certaines œuvres mathématiques ont cessé.
Quelques commentaires ici ou là.

Quelques liens relatifs à Alexandre Grothendieck et à ses mathématiques :
hg clone https://tqft.net/hg/Grothendieck
www.grothendieckcircle.org
Alexandre Grothendieck : Une occasion pour la philosophie ? par Pierre Lochak (univ. Paris VI) Centre de Mathématiques de Jussieu. Ainsi que de nombreuses vidéos d'autres conférences. École Normale Supérieure : en_Savoirs en multimédia.
Les dérivateurs Texte d'Alexandre Grothendieck
Alexandre Grothendieck, Récoltes et semailles
Une entrevue avec Jean Giraud à propos d'Alexandre Grothendieck (Le journal de maths, Jussieu 1994, par Éric Dumas)