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ligne géométrique 2011-05-20T23:26:00+01:00 urn:md5:4acfbb24b8229b96903e19ee4c22763c Pluxml beta 4.2 Économie, Croissance et Progression géométrique urn:md5:c8600d442c996aa78e595c119c497166 2011-05-20T23:26:00+01:00 jp Général <p> Un taux de croissance annuel $t$ appliqu&eacute; &agrave; une quantit&eacute; initiale $A=A_0$ lui fera correspondre apr&egrave;s un an la quantit&eacute; $A_1= A\times (1+t)$, apr&egrave;s deux ans la quantit&eacute; $A_2= A\times (1+t)^2$ et plus g&eacute;n&eacute;ralement apr&egrave;s $n$ ann&eacute;es la quantit&eacute; $B = A_n= A\times (1+t)^n$. <br /> <br /> Il peut s&#39;agir des variations des prix de marchandises, de biens immobiliers ou autres ou encore des salaires, lorsque la croissance est exponentielle et de $t$ par an, (cas d&#39;une suite ou progression g&eacute;om&eacute;trique). Un taux n&eacute;gatif,&nbsp; $t\leq 0$,&nbsp; correspond &agrave; une d&eacute;croissance.<br /> Ce calcul s&#39;applique aussi &agrave; un capital initial $A$ plac&eacute; &agrave; un taux annuel $t$ dont les int&eacute;r&ecirc;ts rapport&eacute;s s&#39;ajoutent tous les ans au capital. <br /> <br /> Attention aux notations : $5\%$ est le nombre $0.05$ et l&#39;&eacute;criture $0.05=5\%$ est correcte. Bien &eacute;videmment l&#39;&eacute;criture, malheureusement tr&egrave;s courante,&nbsp; $0.05\times 100=5\%$ est incorrecte (cette seconde &eacute;galit&eacute; est fausse). Autrement dit, le signe % correspond &agrave; une division par 100, par exemple $5\% = \frac{5}{100}$.</p> <script type="text/javascript"> function calcule() { var s = "" var n = parseFloat(document.frm.n.value), A = parseFloat(document.frm.A.value), B = parseFloat(document.frm.B.value); if(A<=0 || n<=0) { s = "Erreur de données" } else { var q = B/A var t = Math.exp(Math.log(q)/n) - 1, u = 100*t s = "Le taux annuel est $t = "+t+" = "+u+" \\%$" document.getElementById("CapB").innerHTML = "" document.frm2.A.value = A document.frm2.n.value = n document.frm2.t.value = u } document.getElementById("taux").innerHTML = s+"<br><br>" replaceMath( document.body ); } function efface() { document.frm2.A.value = ""; document.frm.A.value = "";document.frm.B.value = ""; document.frm.n.value = ""; document.frm2.n.value = ""; document.frm2.t.value = "" document.getElementById("taux").innerHTML = "" document.getElementById("CapB").innerHTML = "" } function calculeB() { var s = "" var n = parseFloat(document.frm2.n.value), A = parseFloat(document.frm2.A.value), t = parseFloat(document.frm2.t.value)/100; if(A<=0 || n<=0) { s = "Erreur de données" } else { var q = 1+t var B = Math.exp(Math.log(A)+n*Math.log(q)) s = "La quantité après $"+n+"$ années est $B = "+B+"$" document.frm.A.value = A document.frm.B.value = B document.frm.n.value = n document.getElementById("taux").innerHTML ="" } document.getElementById("CapB").innerHTML = s+"<br><br>" replaceMath( document.body ); } </script><h3> Taux annuel pour une quantit&eacute; variant de $A$ &agrave; $B$ en $n$ ann&eacute;es.</h3> <form name="frm"> <p> Les r&eacute;sultats de cette application peuvent &ecirc;tre contr&ocirc;l&eacute;s par l&#39;application du paragraphe qui suit, et r&eacute;ciproquement. <br /> <br /> <input name="eff" onclick="efface();" type="button" value="Efface toutes les données" /> <br /> <br /> Valeur initiale $A =$ <input name="A" type="text" value="9075" />, <br /> <br /> Valeur finale $B =$ <input name="B" type="text" value="9457" />, <br /> <br /> nombre d&#39;ann&eacute;es $n$ = <input name="n" type="text" value="3" /> <br /> <br /> <input name="calc" onclick="calcule();" type="button" value="Calcule" /></p> <div id="taux"> &nbsp;</div> </form> <h3> Quantit&eacute; apr&egrave;s $n$ ann&eacute;es.</h3> <form name="frm2"> <p> Valeur initiale $A =$ <input name="A" type="text" value="1000" />, <br /> <br /> Taux annuel $t =$ <input name="t" type="text" value="5" />%, <br /> <br /> nombre d&#39;ann&eacute;es $n$ = <input name="n" type="text" value="3" /> <br /> <br /> <input name="calc" onclick="calculeB();" type="button" value="Calcule" /></p> <div id="CapB"> &nbsp;</div> </form> Figure symétrique et translations urn:md5:c6cbd361069044c80d1a79a776506c93 2011-01-26T14:35:00+01:00 jp Géométrie <h2> Mise en &eacute;vidence dans plusieurs situations alg&eacute;briques ou g&eacute;om&eacute;triques de l&#39;effet d&#39;une translation sur un objet sym&eacute;trique et sur les produits de sym&eacute;tries et de translations.</h2> <p> <br /> Dans les deux premiers paragraphes on applique un m&ecirc;me proc&eacute;d&eacute; dans deux situations diff&eacute;rentes. Chaque fois on part d&#39;une figure sym&eacute;trique (sym&eacute;trie orthogonale ou sym&eacute;trie centrale) et on r&eacute;alise l&#39;union de cette figure et de sa translat&eacute;e puis on r&eacute;p&egrave;te plusieurs fois ce processus en partant de la figure obtenue.</p> <center> <img src="/data/images/fleurs_red.png" /></center> <p> Le troisi&egrave;me paragraphe utilise la composition des translations et des sym&eacute;tries pour retrouver les sommets d&#39;un pentagone dont on ne conna&icirc;t que les milieux des c&ocirc;t&eacute;s. L&#39;&eacute;tude se g&eacute;n&eacute;ralise aux polygones de trois c&ocirc;t&eacute;s ou plus.</p><h2> Nombre de d&eacute;compositions d&#39;un naturel en sommes de nombres premiers distincts</h2> <p> La suite des nombres premiers est 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 etc.</p> <p> Le nombre entier 18 se d&eacute;compose de quatre mani&egrave;res 13+5=13+3+2=11+7=11+5+2 tandis que 5=3+2 se d&eacute;compose de deux mani&egrave;res.</p> <p> Trois nombres ne se c&eacute;composent pas, ce sont 1, 4 et 6, on pourra montrer que ce sont les seuls.</p> <p> Le nombre 0 se d&eacute;compose d&#39;une seule mani&egrave;re, en effet une somme d&#39;aucun nombre vaut 0 (l&#39;&eacute;l&eacute;ment neutre de l&#39;addition) et en particulier la somme de z&eacute;ro nombre premier vaut aussi 0.</p> <p> La suite des nombres de d&eacute;compositions ou partitions en nombre premiers distincts est la suite A000586 de l&#39;OEIS <a class="moz-txt-link-freetext" href="http://oeis.org/A000586">http://oeis.org/A000586</a> , ses termes sont 1, 0, 1, 1, 0, 2, 0, 2, 1, 1, 2, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 2, 4, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 6, 5, 6, 7, 6, 9, 7, 9, 9, 9, 11, 11, 11, 13, 12, 14, 15, 15, 17, 16, 18, 19, 20, 21, 23, 22, 25, 26 ...</p> <p> La fonction g&eacute;n&eacute;ratrice de cette suite est la s&eacute;rie formelle $\displaystyle G(X) =$ $ \prod_{n=1}^{\infty} (1 + X^{p(n)})$ o&ugrave; $p(n)$ d&eacute;signe le $n$-i&egrave;me nombre premier.</p> <p> $\displaystyle G(X) = (1+X^2)(1+X^3)(1+X^5)(1+X^7)(1+X^{11})\ldots=1+X^2+X^3+2X^5+2X^7+X^8+X^9+2X^{10}+X^{11}+2X^{12}+\ldots$</p> <p> En calculant les polyn&ocirc;mes successifs $P_0(X)=1$, $P_1(X)=1\times(1+X^2)=1+X^2$, $P_2(X)=(1+X^2)(1+X^3)=1+X^2+X^3+X^5$, $P_3(X)=P_2(X)\times(1+X^5) = 1+X^2+X^3+2X^5+X^7+X^8+X^{10}$ on remarque que tous ces polyn&ocirc;mes sont sym&eacute;triques, ce que l&#39;on d&eacute;montre aussit&ocirc;t, en effet le produit de deux ou plusieurs polyn&ocirc;mes sym&eacute;triques est sym&eacute;trique.</p> <p> En &eacute;crivant les listes des coefficients de ces polyn&ocirc;mes on a</p> <pre><samp># 1 # 1 0 1 # 1 0 1 1 0 1 # 1 0 1 1 0 2 0 1 1 0 1 # 1 0 1 1 0 2 0 2 1 1 2 0 2 0 1 1 0 1 # 1 0 1 1 0 2 0 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 0 2 0 1 1 0 1 # 1 0 1 1 0 2 0 2 1 1 2 1 2 2 2 2 3 1 4 1 3 3 1 4 1 3 2 2 2 2 1 2 1 1 2 0 2 0 1 1 0 1</samp></pre> <p> <br /> <span style="font-family: monospace;">le passage d&#39;une ligne &agrave; la suivante se fait par la somme $P_{n+1}(X) = P_n(X) + X^{p(n+1) \times </span><span style="font-family: monospace;">P_n(X)$</span></p> <p> <span style="font-family: monospace;">c&#39;est-&agrave; dire en recopiant et d&eacute;calant la ligne des co</span>efficients de $P(n)$ puis en ajoutant.</p> <p> Exemple :</p> <pre># 1 0 1 1 0 2 0 1 1 0 1 : $P_3(X)$ # . . . . . . . 1 0 1 1 0 2 0 1 1 0 1 : $X^7\,P_3(X)$ ------------------------------------- # 1 0 1 1 0 2 0 2 1 1 2 0 2 0 1 1 0 1 : $P_4(X)$</pre> <p> les d&eacute;calages sont selon le cas de 2, 3, 5, 7, 11 ... (les nombres premiers).</p> <p> Les polyn&ocirc;mes obtenus ont des propri&eacute;t&eacute;s simples &agrave; observer et &agrave; d&eacute;montrer, en particulier la sym&eacute;trie, les seuls z&eacute;ros sont les trois du d&eacute;but et les trois de la fin (&agrave; partir de n=4). Et ainsi de suite !</p> <p> <!-- Note : cf Geometry of M&uuml;ntz Spaces and Related Questions</p> --></p> <p> &nbsp;</p> <h2> Des figures g&eacute;om&eacute;triques sym&eacute;triques</h2> <p> On va appliquer le m&ecirc;me processus de fabrications de figures g&eacute;om&eacute;triques que celui utilis&eacute; pour fabriquer les listes de coefficients des polyn&ocirc;mes.</p> <h3> Algorithme</h3> <p> 1) on prend au d&eacute;part une figure de base&nbsp; $F_0$ sym&eacute;trique.</p> <p> 2) pour fabriquer $F_{n+1}$, on prend une copie&nbsp; de $F_n$ que l&#39;on translate, c&#39;est $F&#39;_n=t_{n+1}(F_n$$, on obtient alors $F_{n+1 = F_n \Cup F&#39;_n$.</p> <h3> Exemples</h3> <h4> Translation selon une seule direction</h4> <p> $F_0$ est le dessin d&#39;un arbre qui pr&eacute;sente une sym&eacute;trie selon un axe vertical. La figure finale a &eacute;t&eacute; obtenuse en trois &eacute;tapes pour obtenir une haie de $2^3=8$ arbres.</p> <p> Dans Gimp, j&#39;ai dessin&eacute; le c&ocirc;t&eacute; gauche d&#39;un arbre sur un fond transparent, une copie du demi-arbre a &eacute;t&eacute; retourn&eacute;e pour obtenir le c&ocirc;t&eacute; droit, la superposition des deux demi-c&ocirc;t&eacute;s a donn&eacute; l&#39;arbre parfaitement sym&eacute;trique qui est la figure $F_0$.</p> <p> En copiant $F_0$, en le translatant horizontzalement&nbsp; et en le collant, on obtient $F_1$.</p> <p> En copiant, translatant horizontzalement, collant $F_1$., on obtient $F_2$.</p> <p> En copiant, translatant horizontzalement, collant $F_2$., on obtient $F_3$.</p> <p> &nbsp;</p> <center> <img src="/data/images/plus_d_arbres.jpg" /></center> <p> &nbsp;</p> <h4> Translation quelconque</h4> <p> Cette fois&nbsp; l&#39;image de d&eacute;part a un centre de sym&eacute;trie et les translations sont de directions quelconques.</p> <center> <p> <img src="/data/images/plus_de fleurs.png" style="width: 248px; height: 257px;" /></p> </center> <h4> Nombre de mani&egrave;res de construire l&#39; image</h4> <p> Si $n$ est le nombre d&#39;op&eacute;rations alors le nombre total d&#39;objets et de copies obtenus est $2^n$, la figure finale peut &ecirc;tre obrenue en partant de&nbsp;&nbsp; l&#39;un ou l&#39;autre en $n!$ op&eacute;rations, il y a donc $2^n \times n!$ fa&ccedil;ons de r&eacute;aliser la m&ecirc;me figure.</p> <p> Pour $n=3$, comme ci-dessous, il y avait $48$ mani&egrave;res de r&eacute;alise cette figure..</p> <center> <p> <img src="/data/images/cube.png" style="width: 195px; height: 227px;" /></p> </center> <h4> Propri&eacute;t&eacute;s utilis&eacute;es</h4> <p> Dans le premier cas,&nbsp; le produit d&#39;une sym&eacute;trie orthogonale d&#39;axe $D$ par une translation $t$ de vecteur $u$ de direction orthogonale &agrave; $D$ est une sym&eacute;trie orthogonale d&#39;axe $\Delta$, image de $D$ par une translation de vecteur $\frac 1 2 u$.</p> <p> Dans le second cas, le produit d&#39;une sym&eacute;trie de centre $O$ par une translation $t$ de vecteur $u$ est une sym&eacute;trie de centre $I$, image de $O$ par une translation de vecteur $\displaystyle \frac 1 2 u.$</p> <h2> Les milieux des c&ocirc;t&eacute;s du pentagone</h2> <p> Comment faites-vous pour retrouver la position des sommets du pentagone, lorsqu&#39;on ne vous donne que les milieux des c&ocirc;t&eacute;s ?</p> <h3> Solution simple pour coll&eacute;giens</h3> <p> Les milieux des c&ocirc;t&eacute;s A, B, C, D, E sont connus,&nbsp; Il s&#39;agit de retrouver les cinq sommets du pentagone mnpqr.</p> <p> Analyse (conditions n&eacute;cessaires).</p> <p> Sachant que les milieux des c&ocirc;t&eacute;s d&#39;un quadrilat&egrave;re quelconque sont les sommets d&#39;un parall&eacute;logramme, on peut compl&eacute;ter le parall&eacute;logramme ABCX pour obtenir le milieu X du c&ocirc;t&eacute; rp.</p> <p> Connaissant les trois milieux D, E, X des c&ocirc;t&eacute;s du triangle pqr, les c&ocirc;t&eacute;s p et r, on sait que p et r sont sur la droite passant par X et parall&egrave;le &agrave; (DE). p et r sont de part et d&#39;autre de X &agrave; une distance de X &eacute;gale &agrave; DE. $\vec {pX} = \vec {Xr}= \vec {DE}$.</p> <p> Synth&egrave;se (les conditions obtenues suffisent), la solution est unique</p> <p> Inversement, on construit le parall&eacute;logramme ABCX, puis le point&nbsp; p ou&nbsp; le point r tels que&nbsp; $\vec {pX} = \vec {Xr}= \vec {DE}$,. les autres sommets peuvent &ecirc;tre obtenus par des sym&eacute;tries. La solution est unique.</p> <h4> &nbsp;</h4> <center> <p> <img src="/data/images/pentagone_milieux.png" style="width: 459px; height: 367px;" /></p> </center> <p> &nbsp;</p> <h3> Propri&eacute;t&eacute;s &agrave; utiliser</h3> <p> Le produit de deux sym&eacute;tries centrales de centres $A$ et $B$ est une translation de vecteur $2\Vec{AB}$</p> <p> Le produit d&#39;une translation de vecteur $\vec u$ et d&#39;une sym&eacute;trie de centre $O$ est une sym&eacute;trie de centre $I$ tel que $\Vec{OI}= -\frac 1 2 \vec u$</p> <p> Le produit d&#39;une sym&eacute;trie de centre $O$ et d&#39;une translation de vecteur $\vec u$ est une sym&eacute;trie de centre $I$ tel que $\Vec{OI}= \frac 1 2 \vec u$</p> <p> Le produit de deux translations de vecteurs $\vec u$ et $\vec v$ est une translation de vecteur $\vec u + \vec v$.</p> <h3> G&eacute;n&eacute;ralisations</h3> <p> Le probl&egrave;me peut-il se g&eacute;n&eacute;raliser et se r&eacute;soudre lorsque le nombre de c&ocirc;t&eacute;s du pentagone est 3, 4, 5, 6 ou plus ?</p> <p> Lorsque le nombre $n$ de milieux et donc de sommets est impair $n=2k+1$, le produit de $2k+1$ sym&eacute;tries est une sym&eacute;trie dont il est simple de trouver le centre O. Il existe donc une solution unique qui en partant de ce point O et en effectuant les sym&eacute;tries dans l&#39;ordre de leurs calcul, permet de retrouver les sommets du polygone.</p> <p> Dans le cas du pentagone, en calculant le produit des sym&eacute;tries de centres A, B, C, D dans cet ordre, on obtient un centre de sym&eacute;trie O aui est le point r de la figure. Le sym&eacute;triques de r par rammort &agrave; A est m, celui de m par rapport &agrave; B est n et ainsi de suiteLorsque le nombre $n$ de milieux et donc de sommets est pair $n=2k$, le produit de $2k$ sym&eacute;tries est unetranslation.</p> <p> Il n&#39;y a pas de solution lorsque le vecteur de cette translation n&#39;est pas nul, car l&#39;image d&#39;un sommet par ce produit de sym&eacute;tries doit &ecirc;tre le m&ecirc;me simmet.</p> <p> Il y a une infinit&eacute; de solutions lorsque le vecteur de cette translation est nul. Ci-dessous, pour $n=4$ les quatre milieux forment un parall&eacute;logramme et il y a une infinit&eacute; de quadrilat&egrave;res solutions, trois d&#39;entre eux sont dessin&eacute;s.</p> <center> <p> <img src="/data/images/quadri.png" /></p> <p> &nbsp;</p> <p> &nbsp;</p> </center> Résidus quadratiques urn:md5:17e56a5175daf4f0a1d6be0e5c96427a 2010-12-22T19:07:00+01:00 jp Suites <p> <u>R&eacute;soudre l&#39;&eacute;quation diophantienne</u></p> <p style="text-align: center;"> $a + bx = u^2$</p> <p> dans laquelle&nbsp; $a$ et $b$ sont donn&eacute;s, $a&gt;0$, $b&gt;1$, on peut supposer $u \geq 0$ et accepter $x$ n&eacute;gatif pour faire plus simple.</p> <p> On cherche les solutions $x$ ou $u$ ou $(x, u)$, (selon les pr&eacute;f&eacute;rences du moment).<br /> &nbsp;</p><h2> R&eacute;ponse</h2> <p> $a + bx = u^2$ &eacute;quivaut &agrave; dire que $a$ est un carr&eacute; modulo $b$<br /> <br /> Il suffit donc de conna&icirc;tre l&#39;ensemble des $t$ positifs inf&eacute;rieurs &agrave;$b$ tels que&nbsp;&nbsp;&nbsp; $a = t^2 \mod b$ pour engendrer l&#39;ensemble des solutions<br /> (qui correspondent aux &eacute;galit&eacute;s $a + by = t^2$ avec $ 0\leq t&lt;b$)<br /> <br /> Pour chaque solution $(y,t)$ avec $0 \leq t &lt;b $ on &eacute;crit<br /> $a + bx = (kb+t)^2$, et <br /> $a + by = t^2$ puis en soustrayant<br /> <br /> $b(x-y) = k^2b^2 t^2 + 2kbt+t^2-t^2$<br /> et enfin la formule param&eacute;tr&eacute;e par $k$<br /> $x = y + k^2bt^2+2kt $ o&ugrave; $y$ et $t$ sont fix&eacute;s et $k$ positif est le param&egrave;tre variable</p> <h2> Suites OEIS</h2> <p> <script type="text/javascript"> function suite() { var a = parseInt(document.frm.a.value) var s="<br />" var k=0; for(var b=1; b<=1000 || b<=2*a;b++) { var test=true for(var t=1;test && t<=b;t++) if(a%b==(t*t)%b) { k++; test=false s += b+", " } } if(k>0) s += "..."; s += "<br />" document.getElementById("suitesols").innerHTML=s; } </script> Il n&#39;existe pas toujours des solutions, certains $a$ ne sont pas des carr&eacute;s modulo b<br /> Par exemple la suite&nbsp; http://oeis.org/A057125 donne les valeurs des $b$ pour lesquelles $a=3$ est un carr&eacute; modulo $b$<br /> Il y a des suites OEIS pour d&#39;autres valeurs de $a$</p> <form action="" name="frm"> Entrez $a=$ <input name="a" style="width: 100px;" type="text" value="3" /> <input onclick="suite()" type="button" value="Calcule" /></form> <p> &nbsp;</p> <div id="suitesols" style="background-color: rgb(255, 238, 238);"> 1, 2, 3, 6, 11, 13, 22, 23, 26, 33, 37, 39, 46, 47, 59, 61, 66, 69, 71, 73, 74, 78, 83, 94, 97, 107, 109, 111, 118, 121, 122, 131, 138, 141, 142, 143, 146, 157, 166, 167, 169, 177, 179, 181, 183, 191, 193, 194, 213, 214, 218, 219, 222, 227, 229, 239, 241, 242, 249, 251, 253, 262, 263, 277, 282, 286, 291, 299, 311 &nbsp;</div> <p> &nbsp;</p> <script type="text/javascript"> function solution() { var a = parseInt(document.frm2.a.value); var b = parseInt(document.frm2.b.value); if(a<0 || b<=2) { document.getElementById("sols").innerHTML="<br />Entrez des valeurs de a et de b positives, b>1 <br />"; return; } var s="<br />";; for(var t=0; t<b;t++) { var test=true; if(a%b==(t*t)%b) { var y = (t*t-a)/b; var z = t*(b*t+2); //s += "# a="+a+" b="+b+" x="+y+" t="+t+"<br /> x= "; s += "# a="+a+" b="+b+" x0="+y+" t="+t+ "&nbsp;&nbsp;&nbsp;" + "<strong>x = "+b+"*k^2 + "+(2*t)+"*k + "+y+"</strong>\n<br /> x= "; for(var k=0; k<=15; k++) { var x = y + k*(k*b+2*t); s += x+", " } s +="<br />" } } document.getElementById("sols").innerHTML=s+"<br />"; } </script><h2> Calcul des solutions</h2> <p> Lorsque a est un carr&eacute; modulo b, il peut aussi exister plusieurs solutions $a + by = t$ avec $t$ entre $0$ et $b$<br /> par exemple les quatre familles ci-dessous pour $a=4$ et $b=42$ <br /> # a=4&nbsp; b=42&nbsp; x0=0&nbsp;&nbsp; t=2<br /> &nbsp;&nbsp;&nbsp; 0; 46; 176; 390; 688; 1070; 1536; 2086; 2720; 3438; 4240; <br /> # a=4&nbsp; b=42&nbsp; x0=6&nbsp;&nbsp; t=16<br /> &nbsp;&nbsp;&nbsp; 6; 80; 238; 480; 806; 1216; 1710; 2288; 2950; 3696; 4526; <br /> # a=4&nbsp; b=42&nbsp; x0=16&nbsp;&nbsp; t=26<br /> &nbsp;&nbsp;&nbsp; 16; 110; 288; 550; 896; 1326; 1840; 2438; 3120; 3886; 4736; <br /> # a=4&nbsp; b=42&nbsp; x0=38&nbsp;&nbsp; t=40<br /> &nbsp;&nbsp;&nbsp; 38; 160; 366; 656; 1030; 1488; 2030; 2656; 3366; 4160; 5038; <br /> (ces suites n&#39;ont pas d&#39;&eacute;l&eacute;ments communs)<br /> on remarque 2+40 = 42 et 16+26=42 pour les valeurs de t et plus g&eacute;n&eacute;ralement<br /> a + bx = u^2<br /> a + by = t^2<br /> donnent<br /> b(x-y) = u^2 - t^2 ou si on pr&eacute;f&egrave;re b(x-y) = (u-t)(u+t)<br /> <br /> et donc en particulier u+t = b donne la solution u=b-t &agrave; partir de la solution t</p> <p> &nbsp;</p> <form action="" name="frm2"> Entrez $a=$ <input name="a" style="width: 100px;" type="text" value="4" /> $b=$ <input name="b" style="width: 100px;" type="text" value="42" /> <input onclick="solution()" type="button" value="Calcule" /></form> <p> Solutions :</p> <div id="sols" style="background-color: rgb(255, 238, 238);"> &nbsp;</div> <p> &nbsp;</p> <h2> Compl&eacute;ments</h2> <p> <a href="http://jeux-et-mathematiques.davalan.org/arit/per/jac.html">R&eacute;ciprocit&eacute; quadratique</a> Symboles de Legendre et de Jacobi</p> Angles entiers urn:md5:39ff2c365e4d4c586d0ee58414ce0af6 2010-06-08T18:06:00+01:00 jp Géométrie <p> Certains triangles &agrave; c&ocirc;t&eacute;s entiers $x$, $y$, $z$ permettent de construire&nbsp; avec une bonne approximation des angles de valeurs donn&eacute;es. Les donn&eacute;es ci-dessous correspondent aux mesures enti&egrave;res en degr&eacute;s de l&#39;angle $a=$&nbsp; 1&deg;, 2&deg;, 3&deg; etc. On pourrait tr&egrave;s bien choisir d&#39;autres valeurs.</p><div style="padding: 5px; text-align: center; font-weight: normal; font-size: 10px; font-style: italic;"> <img alt="" border="0" height="142" src="http://linenn.davalan.eu/data/images/angles_tringle.jpg" width="421" /></div> <p> L&#39;angle $a$ a pour c&ocirc;t&eacute;s $x$ et $y$ , tandis que le c&ocirc;t&eacute; $z$ est oppos&eacute;. </p> <p>$\displaystyle \cos a = \frac{x^2 + y^2 - z^2}{2xy}$ et $z = \sqrt{x^2 + y^2 -2xy \cos a$</p> <p> <br /> L&#39;approximation est inf&eacute;rieure &agrave; la valeur indiqu&eacute;e dans la derni&egrave;re colonne du tableau. Le c&ocirc;t&eacute; $x$ est sup&eacute;rieur ou &eacute;gal &agrave; $y$ et dans les tableaux on s&#39;est limit&eacute; &agrave; calculer les valeurs $x \le 1000$. <br /> On obtient une tr&egrave;s bonne approximation par d&eacute;faut d&#39;un angle de $1$ degr&eacute; en prenant $x=5\,101$, $y=2\,871$, $z=2\,231$, l&#39;erreur est inf&eacute;rieure &agrave; $0.000\,000\,004$ degr&eacute;.</p> <p> La figure suivante montre le partage d&#39;un angle de 360&deg; utilisant deux cercles concentriques de rayons $x$ et $y$ &agrave; l&#39;aide d&#39;un compas dont l&#39;&eacute;cartement est $z$. Pour un angle $a=24$degr&eacute;s, on peut prendre par exemple les rayons $x=75$mm, $y=63$mm et l&#39;ouverture de compas $z=31$mm, ces valeurs se trouvent dans l&#39;un des tableaux.</p> <div style="padding: 5px; text-align: center; font-weight: normal; font-size: 10px; font-style: italic;"> <img alt="" border="0" height="355" src="http://linenn.davalan.eu/data/images/angles_cercles.jpg" width="406" /></div> <p> &nbsp;</p> <div style="padding: 5px; text-align: center; font-weight: normal; font-size: 10px; font-style: italic;"> <img alt="" border="0" height="561" src="http://linenn.davalan.eu/data/images/angles_tab1.jpg" width="645" /></div> <p> &nbsp;</p> <div style="padding: 5px; text-align: center; font-weight: normal; font-size: 10px; font-style: italic;"> <img alt="" border="0" height="540" src="http://linenn.davalan.eu/data/images/angles_tab2.jpg" width="640" /></div> <p> &nbsp;</p> <div style="padding: 5px; text-align: center; font-weight: normal; font-size: 10px; font-style: italic;"> <img alt="" border="0" height="559" src="http://linenn.davalan.eu/data/images/angles_tab3.jpg" width="636" /></div> <p> &nbsp;</p> <div style="padding: 5px; text-align: center; font-weight: normal; font-size: 10px; font-style: italic;"> <img alt="" border="0" height="583" src="http://linenn.davalan.eu/data/images/angles_tab4.jpg" width="636" /></div> Un Prix du Millénaire pour Grigori Perelman urn:md5:8d3d40df079300382c61f808c437c696 2010-03-31T18:54:00+01:00 jp Général <p>Le Prix du Millénaire revient à Grigori Perelman pour sa résolution de la très difficile conjecture de Poincaré.</p><p>La première récompense d'un million de dollars attribuée par le &laquo;&nbsp;<a href="http://www.claymath.org/">Clay&nbsp;Mathematics&nbsp;Institute</a>&nbsp;&raquo; revient à Grigori&nbsp;Perelman </p> <div style="float:center;border:0pt;text-align:center;padding:5px;margin:10px;text-height:12.5px;font-style:italic;"><a href="http://www.claymath.org/annual_meeting/2000_Millennium_Event/Video/"><img border="0"src="http://linenn.davalan.eu/data/images/millenium/atiyah2000.png" width="295" height="224" ></a><br />Présentation par Michael Atiyah à Paris en 2000</div> <p> Le mercredi 8 août 1900, lors du second Congrès International des Mathématiciens, David Hilbert exposa les vingt-trois grands problèmes mathématiques qu'il considérait les plus importants. <br /> Cent ans plus tard certains de ces problèmes restaient encore sans solution. <br />L'Institut Clay décida d'attribuer un prix pour la résolution de sept problèmes, ce qui fut annoncé lors d'un meeting commémoratif au Collège de France le 24 mai 2000 à Paris, un siècle après le congrès de 1900. <br /> <br/> Sur les mathématiques de la fin du 19ème et du 20ème siècles, je conseille la lecture du passionnant et documenté livre de Jeremy J. Gray <br /> "<a href="http://www.dunod.com/livre-dunod-9782100067602-le-defi-de-hilbert.html">Le Défi de Hilbert, un siècle de mathématiques</a>", introduction de Pierre Cartier. Dunod UniverSciences mai 2003. </p> <div style="float:center;border:0pt;text-align:center;padding:5px;margin:10px;text-height:12px;font-style:italic;"><a href="http://www.dunod.com/livre-dunod-9782100067602-le-defi-de-hilbert.html"><img border="0" src="http://linenn.davalan.eu/data/images/millenium/DefiHilbert.jpg" width="141" height="220" ></a><br />Le Défi de Hilbert</div> <p> Articles de G. Perelman sur <a href="http://arxiv.org/find/math/1/au:+Perelman_Grisha/0/1/0/all/0/1">arxiv.org</a> <br /> <br /> <a href="http://images.math.cnrs.fr/Atiyah-pensees.html">Atiyah : pensées</a> par Joël Merker. Images des Mathématiques, CNRS, 2010. <br /> Michael Atiyah (né en 1929) a reçu la médaille Fields au Congrès International des Mathématiciens en 1966 à Moscou et a obtenu le prix Abel en 2004. Il est membre des Académies Nationales de France, de Suède et des États-Unis. </p> Balance urn:md5:a1501cd3bc1f6904f014b6eae8a1d437 2010-03-04T16:55:00+01:00 jp Général <p> Sur un sujet qui rappelle le <a href="http://jeux-et-mathematiques.davalan.org/jeux/minimax/dil/index.html">dilemme itéré du prisonnier</a> <br /> Un petit film réalisé par Christoph Lauenstein et Wolfgang Lauenstein d'une durée de 7 min. diffusé sur Arte. et que l'on peut voir durant plusieurs jours sur le site web.</p> <div style="float:auto;text-align:center;padding:0 0 0 5px;font-size:11px;font-style:italic;"><a href="http://plus7.arte.tv/fr/1697660,CmC=3087364.html"><img src="/data/images/balance.jpg" width="299" height="185" alt="balance"></a></div><h2>Visionner sur site</h2> <p> On peut voir ce film durant plusieurs jours sur <a href="http://plus7.arte.tv/fr/1697660,CmC=3087364.html">http://plus7.arte.tv/fr/</a> </p> <h2>Sauvegarde</h2> Pour télécharger le film et le voir plus tard, vous pouvez opérer comme suit : <br /> 1) afficher le code source de la page http://plus7.arte.tv/fr/1697660,CmC=3087364.html <br /> 2) chercher la partie suivante du code (repérer "WMV" et "HQ") <pre> availableFormats[3] = new Object(); availableFormats[3]["format"] = "WMV"; availableFormats[3]["quality"] = "HQ"; availableFormats[3]["url"] = "http://artestras.wmod.rd.llnw.net/geo/arte7/EUR_DE_FR/arteprod/A7_SGT_ENC_07_001881-000-B_PG_HQ_FR.wmv"; availableFormats[3]["fileId"] = "3091876"; availableFormats[3]["trackingUri"] = "/fr/3087364,templateId=countStats,noncache=true,CmPart=com.arte-tv.streaming.countme?track=ZnIvMzA4NzM2NC8zMDkxODc2LzAtMTg0NDE0LjEtMTYzMDk5Mi4xLTE2MzA5ODguMi0wMzAzMTAvMTI2ODI2NDA2ODAwMC9mYWxzZS85NDhiOWFlZDJjNGE0ZDVkZGM2YmY0ZTYwZWY2YzRmNmY3ZGU0NTA5ZjNkNjRjNTRmYzY3YTU1YmViODM1NDI0"; </pre> <br /> 3) télécharger et lire le fichier<br /> <code>"http://artestras.wmod.rd.llnw.net/geo/arte7/EUR_DE_FR/arteprod/A7_SGT_ENC_07_001881-000-B_PG_HQ_FR.wmv"</code> <pre> &lt;ASX VERSION="3.0"&gt; &lt;ENTRY&gt; &lt;REF HREF="mms://artestras.wmod.llnwd.net/a3903/o35/geo/arte7/EUR_DE_FR/arteprod/A7_SGT_ENC_07_001881-000-B_PG_HQ_FR.wmv?e=1267720301&amp;h=1a429868fa7e9a8bd09093b92173e822"/&gt; &lt;/ENTRY&gt; &lt;/ASX&gt; </pre> <br /> 4) télécharger le film à l'aide de mplayer, vlc, xine... ou mieux : mimms <pre> mimms "mms://artestras.wmod.llnwd.net/a3903/o35/geo/arte7/EUR_DE_FR/arteprod/A7_SGT_ENC_07_001881-000-B_PG_HQ_FR.wmv?e=1267720301&amp;h=1a429868fa7e9a8bd09093b92173e822" Balance.wmv </pre> <br /> 5) visionner le film </p> <h2>Outils de récupération</h2> <p> Sous Linux, vous pouvez installer différents outils pour simplifier cette recherche. <br /> 1) arteplus7 dont il faudrait retrouver l'adresse ! <br /> 2) que je n'ai pas essayé : <a href="http://gitorious.org/totem-plugin-arte">http://gitorious.org/totem-plugin-arte</a> </p> <h2>Coopérer ou non</h2> <p> Des effets néfastes d'un manque de coopération ! <br /> Sur le même sujet, voir <a href="http://jeux-et-mathematiques.davalan.org/jeux/minimax/dil/index.html">Le dilemme itéré du prisonnier</a> </p> Jeu du triangle retourné urn:md5:0a869dde4e041e0b99b1a7e4d6c2d869 2010-03-04T01:30:00+01:00 jp Jeux <div style="float:auto;text-align:center;padding:0 0 0 5px;font-size:11px;font-style:italic;"><img src="/data/images/trianglehaut.jpg" width="150" height="138" alt="triangle"> <p style="text-align:center"><br /></p>Triangle équilatéral</div> <p> Retournez le triangle en déplaçant un minimum de pièces du triangle. </p><div style="float:auto;text-align:center;padding:0 0 0 5px;font-size:11px;font-style:italic;"><img src="/data/images/trianglebas.jpg" width="150" height="137" alt="triangle"><br />Triangle retourné</div>. <p> Recommencez avec un nombre différent de pièces : n = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6... sur les côtés, le nombre total de pièces du triangle est n(n+1)/2, c'est-à-dire 0, 1, 3, 6, 10, 15, 21... <br /><br /> Vous pouvez bien évidemment utiliser des pions, des jetons, des cailloux... et non des pièces de monnaie. <br /><br /> La solution minimale est expliquée ici <a href="/data/pdf/triangleRetourne.pdf">PDF</a>, mais cherchez-la auparavant. </p> Aires de rectangles sur damiers urn:md5:57cb2b3b80957bbb52c7f4f22ca021e2 2010-02-19T18:44:00+01:00 jp Géométrie <h2>Aires colorées</h2> <p> Tracez un rectangle dont les côtés sont parallèles aux lignes horizontales ou verticales du damier. <br /> Les cases d'un damier sont alternativement noires (grises sur le schéma) ou blanches et la surface du rectangle se partage entre une partie noire et une partie blanche. <br /> <br /> À quelle condition les aires des deux parties noires et blanches du rectangle sont-elles égales ? </p> <div style="float:center;text-align:center;padding:5px;margin:10px;text-height:12.5px;test-style:italic;"><img border="0" src="http://linenn.davalan.eu/data/images/damier-gris3rect1.png" width="280" height="178" alt="Rectangles"><br />Ces rectangles ont la propriété des aires égales</div>