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Deprecated: Methods with the same name as their class will not be constructors in a future version of PHP; plxRecord has a deprecated constructor in /homepages/3/d170528928/htdocs/jm/bn/core/lib/class.plx.record.php on line 10

Deprecated: Methods with the same name as their class will not be constructors in a future version of PHP; plxMotor has a deprecated constructor in /homepages/3/d170528928/htdocs/jm/bn/core/lib/class.plx.motor.php on line 10

Deprecated: Methods with the same name as their class will not be constructors in a future version of PHP; plxFeed has a deprecated constructor in /homepages/3/d170528928/htdocs/jm/bn/core/lib/class.plx.feed.php on line 9

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Deprecated: Methods with the same name as their class will not be constructors in a future version of PHP; plxShow has a deprecated constructor in /homepages/3/d170528928/htdocs/jm/bn/core/lib/class.plx.show.php on line 9

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Deprecated: Non-static method plxUtils::getGets() should not be called statically in /homepages/3/d170528928/htdocs/jm/bn/core/lib/class.plx.motor.php on line 58

Deprecated: Non-static method plxUtils::mobileDetect() should not be called statically in /homepages/3/d170528928/htdocs/jm/bn/core/lib/class.plx.motor.php on line 66

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Deprecated: Non-static method plxDate::dateToIso() should not be called statically in /homepages/3/d170528928/htdocs/jm/bn/core/lib/class.plx.motor.php on line 468

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Deprecated: Non-static method plxUtils::write() should not be called statically in /homepages/3/d170528928/htdocs/jm/bn/plugins/stats/stats.php on line 98
Linenn - Jeux et Mathematiques - <br /> <b>Deprecated</b>: Non-static method plxUtils::strCheck() should not be called statically in <b>/homepages/3/d170528928/htdocs/jm/bn/core/lib/class.plx.show.php</b> on line <b>127</b><br /> Polynômes d'ensembles - linenn


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Polynômes d'ensembles

Par
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jp, le
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vendredi 25 décembre 2009 à
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Deprecated: Non-static method plxDate::getCalendar() should not be called statically in /homepages/3/d170528928/htdocs/jm/bn/core/lib/class.plx.date.php on line 109

Deprecated: Non-static method plxDate::getCalendar() should not be called statically in /homepages/3/d170528928/htdocs/jm/bn/core/lib/class.plx.date.php on line 110
03:17 |
Deprecated: Non-static method plxUtils::strCheck() should not be called statically in /homepages/3/d170528928/htdocs/jm/bn/core/lib/class.plx.show.php on line 448
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Théorème : Soit X un ensemble tel que X soit équipotent à 1 + X2.
Alors X7 est équipotent à X.

Ce théorème très simple de Lawvere (texte de 1994) est lié à la très récente – moins de vingt ans – « théorie des nombres objective »
Sa démonstration a été donnée par Blass en 1995, elle n'utilise pas le principe du tiers exclu.

X étant un ensemble, X2 correspond au produit cartésien de X par X. La somme X + Y est la somme de deux ensembles (une union disjointe) et 1 est un ensemble à un élément. On suppose la commutativité, l'associativité et la distributivité du produit sur la somme, (mais on n'utilise pas le signe –)
Le théorème se trouve dans le livre Logique, ensembles, catégories Le point de vue constructif, de Pierre Ageron (Ellipses 2000), où il est clairement expliqué et accompagné d'un grand nombre de détails et d'informations qui ne se trouvent pas ici.

Une interprétation polynômiale immédiate est d'observer que le polynôme cyclotomique X2 − X + 1 divise X6 − 1 et divise donc aussi X7 − X.

Le moyen le plus simple (je crois) de faire trouver une démonstration semblable à celle de Blass est de jouer suivant les règles ci-dessous.

principe
Manipulations autorisées
matériel
1) une rangée de cases numérotées 0, 1, 2, ... dessinées sur une feuille de papier
2) une certaine quantité de pions qui pourront être mis (ou non) sur les cases, et même éventuellement empilés.

début et fin de partie
1) au départ on a un seul pion sur la case numéro 1
2) en fin de partie on a un seul pion sur la case numéro 7
(mais si on préfère, on peut faire l'inverse, commencer en 7 et terminer en 1)

manipulations
Comme sur la figure de principe plus haut,
1) A -> B : soit vous prenez un pion et vous le remplacez par deux pions en mettant un pionn sur chacune des deux cases adjacentes de droite et de gauche, (faites attention toutefois à ne pas dépasser la limite de gauche de la rangée),
2) B -> A : soit vous faites l'inverse en ôtant deux pions séparés d'une case et en plaçant un seul pion dans cette case intermédiaire.

principe
Début, fin et cours de partie

Enfin, si le cœur vous en dit; notez chaque étape de votre jeu sous forme d'un polynôme. Par exemple le polynôme
1+X2+X2+X4+X4+X5+X6+X7+X8
correspond à l'étape intermédiaire du dernier schéma.

Votre démonstration ressemblera à ceci (en complétant)
X
1 + X2
...
1+X2+X2+X4+X4+X5+X6+X7+X8
...
X7

le record est de 19 lignes (c.-à-d. 18 transformations).


Le jeu

Le record est de 18 coups pour faire passer la pièce de la position 1 à la position 7, sachant qu'il ne doit rester aucune autre pièce dans le jeu à ce moment là.

Pour dédoubler une pièce, cliquez sur la pièce ou sur le tas
Pour réassembler deux pièces en une seule, cliquez sur la marque, entre les deux pièces et en-dessous du tas de pièces (même vide)






Documents, compléments, liens...

Seven trees in one Andreas Blass J. Pure Appl. Alg. 103 (1995) 1-21
... We clarify how this and similar bijections are related to the free commutative semiring on one generator X subject to X=1+X^2...

Some thoughts on the future of category theory (Abstract) F. William Lawvere

Logique, ensembles, catégories Le point de vue constructif, de Pierre Ageron (Ellipses 2000)

PS. switch : en cliquant le mot "pièces" dans la fin de phrase "... du tas de pièces (même vide)" vous pouvez sortir du mode "jeu" ou y revenir, ce qui vous permet de disposer autant de pièces que vous voulez et où vous voulez dans le jeu (cliquer dans ou en-dessous de l'emplacement de la pièce).

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