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Deprecated: Non-static method plxUtils::write() should not be called statically in /homepages/3/d170528928/htdocs/jm/bn/plugins/stats/stats.php on line 98
Linenn - Jeux et Mathematiques - <br /> <b>Deprecated</b>: Non-static method plxUtils::strCheck() should not be called statically in <b>/homepages/3/d170528928/htdocs/jm/bn/core/lib/class.plx.show.php</b> on line <b>127</b><br /> Figure symétrique et translations - linenn


Deprecated: Non-static method plxUtils::strCheck() should not be called statically in /homepages/3/d170528928/htdocs/jm/bn/core/lib/class.plx.show.php on line 381
Figure symétrique et translations

Par
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jp, le
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mercredi 26 janvier 2011 à
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14:35 |
Deprecated: Non-static method plxUtils::strCheck() should not be called statically in /homepages/3/d170528928/htdocs/jm/bn/core/lib/class.plx.show.php on line 448
Géométrie | Page principale Jeux et Mathématiques

Mise en évidence dans plusieurs situations algébriques ou géométriques de l'effet d'une translation sur un objet symétrique et sur les produits de symétries et de translations.


Dans les deux premiers paragraphes on applique un même procédé dans deux situations différentes. Chaque fois on part d'une figure symétrique (symétrie orthogonale ou symétrie centrale) et on réalise l'union de cette figure et de sa translatée puis on répète plusieurs fois ce processus en partant de la figure obtenue.

Le troisième paragraphe utilise la composition des translations et des symétries pour retrouver les sommets d'un pentagone dont on ne connaît que les milieux des côtés. L'étude se généralise aux polygones de trois côtés ou plus.

Nombre de décompositions d'un naturel en sommes de nombres premiers distincts

La suite des nombres premiers est 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 etc.

Le nombre entier 18 se décompose de quatre manières 13+5=13+3+2=11+7=11+5+2 tandis que 5=3+2 se décompose de deux manières.

Trois nombres ne se cécomposent pas, ce sont 1, 4 et 6, on pourra montrer que ce sont les seuls.

Le nombre 0 se décompose d'une seule manière, en effet une somme d'aucun nombre vaut 0 (l'élément neutre de l'addition) et en particulier la somme de zéro nombre premier vaut aussi 0.

La suite des nombres de décompositions ou partitions en nombre premiers distincts est la suite A000586 de l'OEIS http://oeis.org/A000586 , ses termes sont 1, 0, 1, 1, 0, 2, 0, 2, 1, 1, 2, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 2, 4, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 6, 5, 6, 7, 6, 9, 7, 9, 9, 9, 11, 11, 11, 13, 12, 14, 15, 15, 17, 16, 18, 19, 20, 21, 23, 22, 25, 26 ...

La fonction génératrice de cette suite est la série formelle $\displaystyle G(X) =$ $ \prod_{n=1}^{\infty} (1 + X^{p(n)})$ où $p(n)$ désigne le $n$-ième nombre premier.

$\displaystyle G(X) = (1+X^2)(1+X^3)(1+X^5)(1+X^7)(1+X^{11})\ldots=1+X^2+X^3+2X^5+2X^7+X^8+X^9+2X^{10}+X^{11}+2X^{12}+\ldots$

En calculant les polynômes successifs $P_0(X)=1$, $P_1(X)=1\times(1+X^2)=1+X^2$, $P_2(X)=(1+X^2)(1+X^3)=1+X^2+X^3+X^5$, $P_3(X)=P_2(X)\times(1+X^5) = 1+X^2+X^3+2X^5+X^7+X^8+X^{10}$ on remarque que tous ces polynômes sont symétriques, ce que l'on démontre aussitôt, en effet le produit de deux ou plusieurs polynômes symétriques est symétrique.

En écrivant les listes des coefficients de ces polynômes on a

# 1
# 1 0 1
# 1 0 1 1 0 1
# 1 0 1 1 0 2 0 1 1 0 1
# 1 0 1 1 0 2 0 2 1 1 2 0 2 0 1 1 0 1
# 1 0 1 1 0 2 0 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 0 2 0 1 1 0 1
# 1 0 1 1 0 2 0 2 1 1 2 1 2 2 2 2 3 1 4 1 3 3 1 4 1 3 2 2 2 2 1 2 1 1 2 0 2 0 1 1 0 1


le passage d'une ligne à la suivante se fait par la somme $P_{n+1}(X) = P_n(X) + X^{p(n+1) \times P_n(X)$

c'est-à dire en recopiant et décalant la ligne des coefficients de $P(n)$ puis en ajoutant.

Exemple :

# 1 0 1 1 0 2 0 1 1 0 1                : $P_3(X)$
# . . . . . . . 1 0 1 1 0 2 0 1 1 0 1  : $X^7\,P_3(X)$
-------------------------------------
# 1 0 1 1 0 2 0 2 1 1 2 0 2 0 1 1 0 1  : $P_4(X)$

les décalages sont selon le cas de 2, 3, 5, 7, 11 ... (les nombres premiers).

Les polynômes obtenus ont des propriétés simples à observer et à démontrer, en particulier la symétrie, les seuls zéros sont les trois du début et les trois de la fin (à partir de n=4). Et ainsi de suite !

 

Des figures géométriques symétriques

On va appliquer le même processus de fabrications de figures géométriques que celui utilisé pour fabriquer les listes de coefficients des polynômes.

Algorithme

1) on prend au départ une figure de base  $F_0$ symétrique.

2) pour fabriquer $F_{n+1}$, on prend une copie  de $F_n$ que l'on translate, c'est $F'_n=t_{n+1}(F_n$$, on obtient alors $F_{n+1 = F_n \Cup F'_n$.

Exemples

Translation selon une seule direction

$F_0$ est le dessin d'un arbre qui présente une symétrie selon un axe vertical. La figure finale a été obtenuse en trois étapes pour obtenir une haie de $2^3=8$ arbres.

Dans Gimp, j'ai dessiné le côté gauche d'un arbre sur un fond transparent, une copie du demi-arbre a été retournée pour obtenir le côté droit, la superposition des deux demi-côtés a donné l'arbre parfaitement symétrique qui est la figure $F_0$.

En copiant $F_0$, en le translatant horizontzalement  et en le collant, on obtient $F_1$.

En copiant, translatant horizontzalement, collant $F_1$., on obtient $F_2$.

En copiant, translatant horizontzalement, collant $F_2$., on obtient $F_3$.

 

 

Translation quelconque

Cette fois  l'image de départ a un centre de symétrie et les translations sont de directions quelconques.

Nombre de manières de construire l' image

Si $n$ est le nombre d'opérations alors le nombre total d'objets et de copies obtenus est $2^n$, la figure finale peut être obrenue en partant de   l'un ou l'autre en $n!$ opérations, il y a donc $2^n \times n!$ façons de réaliser la même figure.

Pour $n=3$, comme ci-dessous, il y avait $48$ manières de réalise cette figure..

Propriétés utilisées

Dans le premier cas,  le produit d'une symétrie orthogonale d'axe $D$ par une translation $t$ de vecteur $u$ de direction orthogonale à $D$ est une symétrie orthogonale d'axe $\Delta$, image de $D$ par une translation de vecteur $\frac 1 2 u$.

Dans le second cas, le produit d'une symétrie de centre $O$ par une translation $t$ de vecteur $u$ est une symétrie de centre $I$, image de $O$ par une translation de vecteur $\displaystyle \frac 1 2 u.$

Les milieux des côtés du pentagone

Comment faites-vous pour retrouver la position des sommets du pentagone, lorsqu'on ne vous donne que les milieux des côtés ?

Solution simple pour collégiens

Les milieux des côtés A, B, C, D, E sont connus,  Il s'agit de retrouver les cinq sommets du pentagone mnpqr.

Analyse (conditions nécessaires).

Sachant que les milieux des côtés d'un quadrilatère quelconque sont les sommets d'un parallélogramme, on peut compléter le parallélogramme ABCX pour obtenir le milieu X du côté rp.

Connaissant les trois milieux D, E, X des côtés du triangle pqr, les côtés p et r, on sait que p et r sont sur la droite passant par X et parallèle à (DE). p et r sont de part et d'autre de X à une distance de X égale à DE. $\vec {pX} = \vec {Xr}= \vec {DE}$.

Synthèse (les conditions obtenues suffisent), la solution est unique

Inversement, on construit le parallélogramme ABCX, puis le point  p ou  le point r tels que  $\vec {pX} = \vec {Xr}= \vec {DE}$,. les autres sommets peuvent être obtenus par des symétries. La solution est unique.

 

 

Propriétés à utiliser

Le produit de deux symétries centrales de centres $A$ et $B$ est une translation de vecteur $2\Vec{AB}$

Le produit d'une translation de vecteur $\vec u$ et d'une symétrie de centre $O$ est une symétrie de centre $I$ tel que $\Vec{OI}= -\frac 1 2 \vec u$

Le produit d'une symétrie de centre $O$ et d'une translation de vecteur $\vec u$ est une symétrie de centre $I$ tel que $\Vec{OI}= \frac 1 2 \vec u$

Le produit de deux translations de vecteurs $\vec u$ et $\vec v$ est une translation de vecteur $\vec u + \vec v$.

Généralisations

Le problème peut-il se généraliser et se résoudre lorsque le nombre de côtés du pentagone est 3, 4, 5, 6 ou plus ?

Lorsque le nombre $n$ de milieux et donc de sommets est impair $n=2k+1$, le produit de $2k+1$ symétries est une symétrie dont il est simple de trouver le centre O. Il existe donc une solution unique qui en partant de ce point O et en effectuant les symétries dans l'ordre de leurs calcul, permet de retrouver les sommets du polygone.

Dans le cas du pentagone, en calculant le produit des symétries de centres A, B, C, D dans cet ordre, on obtient un centre de symétrie O aui est le point r de la figure. Le symétriques de r par rammort à A est m, celui de m par rapport à B est n et ainsi de suiteLorsque le nombre $n$ de milieux et donc de sommets est pair $n=2k$, le produit de $2k$ symétries est unetranslation.

Il n'y a pas de solution lorsque le vecteur de cette translation n'est pas nul, car l'image d'un sommet par ce produit de symétries doit être le même simmet.

Il y a une infinité de solutions lorsque le vecteur de cette translation est nul. Ci-dessous, pour $n=4$ les quatre milieux forment un parallélogramme et il y a une infinité de quadrilatères solutions, trois d'entre eux sont dessinés.

 

 

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