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Deprecated: Methods with the same name as their class will not be constructors in a future version of PHP; plxGlob has a deprecated constructor in /homepages/3/d170528928/htdocs/jm/bn/core/lib/class.plx.glob.php on line 10

Deprecated: Methods with the same name as their class will not be constructors in a future version of PHP; plxRecord has a deprecated constructor in /homepages/3/d170528928/htdocs/jm/bn/core/lib/class.plx.record.php on line 10

Deprecated: Methods with the same name as their class will not be constructors in a future version of PHP; plxMotor has a deprecated constructor in /homepages/3/d170528928/htdocs/jm/bn/core/lib/class.plx.motor.php on line 10

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Deprecated: Methods with the same name as their class will not be constructors in a future version of PHP; plxShow has a deprecated constructor in /homepages/3/d170528928/htdocs/jm/bn/core/lib/class.plx.show.php on line 9

Deprecated: Non-static method plxDate::microtime() should not be called statically in /homepages/3/d170528928/htdocs/jm/bn/core/lib/class.plx.motor.php on line 57

Deprecated: Non-static method plxUtils::getGets() should not be called statically in /homepages/3/d170528928/htdocs/jm/bn/core/lib/class.plx.motor.php on line 58

Deprecated: Non-static method plxUtils::mobileDetect() should not be called statically in /homepages/3/d170528928/htdocs/jm/bn/core/lib/class.plx.motor.php on line 66

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Deprecated: Non-static method plxDate::dateToIso() should not be called statically in /homepages/3/d170528928/htdocs/jm/bn/core/lib/class.plx.motor.php on line 468

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Deprecated: Non-static method plxUtils::getIp() should not be called statically in /homepages/3/d170528928/htdocs/jm/bn/plugins/stats/stats.php on line 130

Deprecated: Non-static method plxUtils::getIp() should not be called statically in /homepages/3/d170528928/htdocs/jm/bn/plugins/stats/stats.php on line 131

Strict Standards: date(): We selected 'Europe/London' for 'BST/1.0/DST' instead in /homepages/3/d170528928/htdocs/jm/bn/plugins/stats/stats.php on line 142

Deprecated: Non-static method plxUtils::write() should not be called statically in /homepages/3/d170528928/htdocs/jm/bn/plugins/stats/stats.php on line 98
Linenn - Jeux et Mathematiques - <br /> <b>Deprecated</b>: Non-static method plxUtils::strCheck() should not be called statically in <b>/homepages/3/d170528928/htdocs/jm/bn/core/lib/class.plx.show.php</b> on line <b>127</b><br /> Équation de Weierstrass - linenn


Deprecated: Non-static method plxUtils::strCheck() should not be called statically in /homepages/3/d170528928/htdocs/jm/bn/core/lib/class.plx.show.php on line 381
Équation de Weierstrass

Par
Deprecated: Non-static method plxUtils::strCheck() should not be called statically in /homepages/3/d170528928/htdocs/jm/bn/core/lib/class.plx.show.php on line 393
jp, le
Deprecated: Non-static method plxDate::dateIsoToHum() should not be called statically in /homepages/3/d170528928/htdocs/jm/bn/core/lib/class.plx.show.php on line 405

Deprecated: Non-static method plxDate::getCalendar() should not be called statically in /homepages/3/d170528928/htdocs/jm/bn/core/lib/class.plx.date.php on line 109

Deprecated: Non-static method plxDate::getCalendar() should not be called statically in /homepages/3/d170528928/htdocs/jm/bn/core/lib/class.plx.date.php on line 110
mercredi 16 décembre 2009 à
Deprecated: Non-static method plxDate::dateIsoToHum() should not be called statically in /homepages/3/d170528928/htdocs/jm/bn/core/lib/class.plx.show.php on line 417

Deprecated: Non-static method plxDate::getCalendar() should not be called statically in /homepages/3/d170528928/htdocs/jm/bn/core/lib/class.plx.date.php on line 109

Deprecated: Non-static method plxDate::getCalendar() should not be called statically in /homepages/3/d170528928/htdocs/jm/bn/core/lib/class.plx.date.php on line 110
02:25 |
Deprecated: Non-static method plxUtils::strCheck() should not be called statically in /homepages/3/d170528928/htdocs/jm/bn/core/lib/class.plx.show.php on line 448
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Nombres triangulaires et pyramidaux à la fois

Les nombres triangulaires sont les nombres de la suite $0, 1, 3, 6, 10,\ldots,T(n),\ldots$.

Nombres triangulaires


Les nombres pyramidaux (à base carrée) sont les nombres de la suite $0, 1, 5, 14,\ldots, P(m),\ldots$.
nombres pyramidaux

La suite A039596 de l'encyclopédie en ligne OEIS donne la liste des nombres qui sont à la fois triangulaires et pyramidaux : 1, 55, 91, 208335.
Retrouvons-les.
Notez que $T(n)$ et $P(m)$ correspondent à une surface et à un volume et sont des polynômes de degrés $2$ et $3$. On prévoit déjà l'obtention d'une courbe elliptique.
La suite des nombres triangulaires est $(T) = 0, 1, 3, 6, 10, \ldots$ de terme général $T(n) = \sum_{k=0}^n k = \frac{n(n+1)} 2$ et
la suite des nombres pyramidaux est $(P) = 0, 1, 5, 14, 30, \ldots$ de terme général $P(n) = \sum_{k=0}^n k^2 = \frac{n}6 (n+1)(2n+1)$.

L'équation à résoudre en $n$ et en $m$ est $T(n) = P(m)$.

$T(n) &=& P(m)$

$\displaystyle \frac{n(n+1)} 2 =\displaystyle \frac{m}6 (m+1)(2m+1)$

$3(2n)(2n+2) = 2m(2m+2)(2m+1)$

$3 (Y-1)(Y+1) = (X-1)X(X+1)$

$3Y^2 -3 = X^3 - X$

$81Y^2 = 27X^3 -27X+81$

$y^2 = x^3 - 9x + 81$

Une première mise en forme a pour but de préparer l'utilisation de l'identité remarquable $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$.
Le changement de variables $Y=2n+1$, $X=2m+1$ aide à simplifier les calculs et nous conduit à effectuer un second changement de variables $y=9Y$ et $x = 3X$ qui nous donne finalement une équation de Weierstrass de la forme $y^2=x^3+ax+b$.

Si $m$ et $n$ sont entiers, alors $x = 3(2m+1)$ et $y=9(2n+1)$ le sont aussi, comme $m=\frac{x-3}{6}$ et $n=\frac{y-9}{18}$, la réciproque n'est pas nécessairement toujours vraie, les valeurs de $m$ et $n$ obtenues sont rationnelles et a priori rien ne garantit qu'elles soient entières ou même positives. Il nous faudra ensuite faire le tri afin de ne garder que celles qui conviennent, on les aura toutes.

L'ensemble des solutions de $T(n) = P(m)$ (1) est donc l'ensemble des couples de deux nombres entiers positifs $n$ et $m$ obtenus à partir des solutions entières de $y^2 = x^3 - 9x + 81$ (2).

Les solutions de (2) se trouvent dans les tables de Cremona, on peut aussi les déterminer à l'aide d'un logiciel de théorie des nombres, celui-ci est "mwrank" utilisable directement ou via "sage".

Dans sage :

----------------------------------------------------------------------
| Sage Version 4.0.1, Release Date: 2009-06-06                       |
| Type notebook() for the GUI, and license() for information.        |
----------------------------------------------------------------------

E=EllipticCurve([0,0,0,-9,81]);
F=E.minimal_model();
p=F.S_integral_points([2,3]);
A=F.isomorphism_to(E);
q=[A(P) for P in p];
s=[((x-3)/6 ,(y-9)/18) for (x,y,z) in q];
s=[(x,y) for (x,y) in s if x.is_integral() and y.is_integral()];
s

[(-1, 0), (0, 0), (1, 1), (5, 10), (6, 13), (85, 645)]

Il ne reste plus qu'à calculer $T(0) = 0$, $T(1) = 1$, $T(10)= 55$, $T(13) = 91$, $T(85) = 208335$ pour obtenir le résultat (je préfère débuter la suite par $T(0)$ et non par $T(1)$).

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Nombres congruents Autres équations elliptiques du site Jeux et Mathématiques et une collection de liens divers

John Cremona
Tom Womack
Tutoriel de sage
Pari/gp
Using Cremona's data in Kash
Maxima Le logiciel de calcul formel libre (site personnel en langue française)

Entraînez-vous à chercher les solutions de y2 = x3 + c où c est un entier que vous choisissez au préalable.
Par exemple 52=25 et 33=27 donc avec c=-2, on a une solution (3, 5) de y2 = x3 -2, mais est-ce la seule ?
Plus de détails sur CultureMath, lisez Points rationnels et courbes elliptiques de Jérôme Gärtner.

(Voir le thread de début mai 2008 sur fsm. 09/03/2009 Izoor me communique le lien ci-dessous)
Solution of a Diophantine Problem Ce texte de 1985 présente la solution de Saburo Uchiyama.

suite A039596 sur le site de l'OEIS


Nombres à la fois triangulaires et tétrahédraux

Le texte de Avanesov (en Russe), cité dans Mathworld et par Saburo Uchiyama (référence [5])

Le traitement de ce problème est similaire.
Voici le script correspondant à ce problème des nombres triangulaires et tétrahédraux, à exécuter dans Sage.

E=EllipticCurve([0,0,0,-144,16*81]);
F=E.minimal_model();
p=F.S_integral_points([2,3]);
A=F.isomorphism_to(E);
q=[A(P) for P in p];
s=[((x-12)/12 ,(y-36)/72) for (x,y,z) in q];
s=[(x,y) for (x,y) in s if x.is_integral() and y.is_integral()];
s

[(-2, 0), (-1, 0), (0, 0), (1, 1), (3, 4), (8, 15), (20, 55), (34, 119)]
Les nombres à la fois triangulaires (A000217) et tétrahédraux (A000292) sont 0, 1, 120, 1540 et 7140.

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