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Équation de Weierstrass
Par
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jp,
le
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mercredi 16 décembre 2009 à
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02:25
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Nombres triangulaires et pyramidaux à la fois
Les nombres triangulaires sont les nombres de la suite $0, 1, 3, 6, 10,\ldots,T(n),\ldots$.
Les nombres pyramidaux (à base carrée) sont les nombres de la suite $0, 1, 5, 14,\ldots, P(m),\ldots$.
La suite A039596 de l'encyclopédie en ligne OEIS donne la liste des nombres qui sont à la fois triangulaires et pyramidaux : 1, 55, 91, 208335.
Retrouvons-les.
Notez que $T(n)$ et $P(m)$ correspondent à une surface et à un volume et sont des polynômes de degrés $2$ et $3$.
On prévoit déjà l'obtention d'une courbe elliptique.
La suite des nombres triangulaires est $(T) = 0, 1, 3, 6, 10, \ldots$ de terme général $T(n) = \sum_{k=0}^n k = \frac{n(n+1)} 2$ et
la suite des nombres pyramidaux est $(P) = 0, 1, 5, 14, 30, \ldots$ de terme général $P(n) = \sum_{k=0}^n k^2 = \frac{n}6 (n+1)(2n+1)$.
L'équation à résoudre en $n$ et en $m$ est $T(n) = P(m)$.
$T(n) &=& P(m)$
$\displaystyle \frac{n(n+1)} 2 =\displaystyle \frac{m}6 (m+1)(2m+1)$
$3(2n)(2n+2) = 2m(2m+2)(2m+1)$
$3 (Y-1)(Y+1) = (X-1)X(X+1)$
$3Y^2 -3 = X^3 - X$
$81Y^2 = 27X^3 -27X+81$
$y^2 = x^3 - 9x + 81$
Une première mise en forme a pour but de préparer l'utilisation de l'identité remarquable $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$.
Le changement de variables $Y=2n+1$, $X=2m+1$ aide à simplifier les calculs et nous conduit à effectuer
un second changement de variables $y=9Y$ et $x = 3X$ qui nous donne finalement
une équation de Weierstrass de la forme $y^2=x^3+ax+b$.
Si $m$ et $n$ sont entiers, alors $x = 3(2m+1)$ et $y=9(2n+1)$ le sont aussi, comme $m=\frac{x-3}{6}$ et $n=\frac{y-9}{18}$, la réciproque n'est pas nécessairement toujours vraie, les valeurs de $m$ et $n$ obtenues sont rationnelles et a priori rien ne garantit qu'elles soient entières ou même positives. Il nous faudra ensuite faire le tri afin de ne garder que celles qui conviennent, on les aura toutes.
L'ensemble des solutions de $T(n) = P(m)$ (1) est donc l'ensemble des couples de deux nombres entiers positifs $n$ et $m$ obtenus à partir des
solutions entières de $y^2 = x^3 - 9x + 81$ (2).
Les solutions de (2) se trouvent dans les tables de Cremona, on peut aussi les déterminer à l'aide d'un logiciel de théorie des nombres, celui-ci est "mwrank" utilisable directement ou via "sage".
Dans sage :
---------------------------------------------------------------------- | Sage Version 4.0.1, Release Date: 2009-06-06 | | Type notebook() for the GUI, and license() for information. | ---------------------------------------------------------------------- E=EllipticCurve([0,0,0,-9,81]); F=E.minimal_model(); p=F.S_integral_points([2,3]); A=F.isomorphism_to(E); q=[A(P) for P in p]; s=[((x-3)/6 ,(y-9)/18) for (x,y,z) in q]; s=[(x,y) for (x,y) in s if x.is_integral() and y.is_integral()]; s [(-1, 0), (0, 0), (1, 1), (5, 10), (6, 13), (85, 645)]
Il ne reste plus qu'à calculer $T(0) = 0$, $T(1) = 1$, $T(10)= 55$, $T(13) = 91$, $T(85) = 208335$ pour obtenir le résultat (je préfère débuter la suite par $T(0)$ et non par $T(1)$).
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Nombres congruents Autres équations elliptiques du site Jeux et Mathématiques et une collection de liens divers
John Cremona
Tom Womack
Tutoriel de sage
Pari/gp
Using Cremona's data in Kash
Maxima Le logiciel de calcul formel libre (site personnel en langue française)
Entraînez-vous à chercher les solutions de y2 = x3 + c où c est un entier que vous choisissez au préalable.
Par exemple 52=25 et 33=27 donc avec c=-2, on a une solution (3, 5) de y2 = x3 -2, mais est-ce la seule ?
Plus de détails sur CultureMath, lisez Points rationnels et courbes elliptiques de Jérôme Gärtner.
(Voir le thread de début mai 2008 sur fsm. 09/03/2009 Izoor me communique le lien ci-dessous)
Solution of a Diophantine Problem Ce texte de 1985 présente la solution de Saburo Uchiyama.
suite A039596 sur le site de l'OEIS
Nombres à la fois triangulaires et tétrahédraux
Le texte de Avanesov (en Russe), cité dans Mathworld et par Saburo Uchiyama (référence [5])
Le traitement de ce problème est similaire.
Voici le script correspondant à ce problème des nombres triangulaires et tétrahédraux, à exécuter dans Sage.
E=EllipticCurve([0,0,0,-144,16*81]); F=E.minimal_model(); p=F.S_integral_points([2,3]); A=F.isomorphism_to(E); q=[A(P) for P in p]; s=[((x-12)/12 ,(y-36)/72) for (x,y,z) in q]; s=[(x,y) for (x,y) in s if x.is_integral() and y.is_integral()]; s [(-2, 0), (-1, 0), (0, 0), (1, 1), (3, 4), (8, 15), (20, 55), (34, 119)]Les nombres à la fois triangulaires (A000217) et tétrahédraux (A000292) sont 0, 1, 120, 1540 et 7140.