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Une compétition plus équitable
Par
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jp,
le
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samedi 09 janvier 2010 à
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15:10
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Prêts au départ
Retour sur la compétition
Dans le texte Les dés du colonel, on a vu que les élèves s'étaient rendus compte que les lancements des deux dés favorisaient certains concurrents au détriment des autres.
le règlement de la course
1) Les élèves sont au départ dans les couloirs numérotés 2, 3, 4 jusqu'à 12,
2) à chaque lancement des deux dés, on calcule leur somme T et l'élève qui
se trouve dans le couloir T avance d'un pas.
On a vu que l'élève du couloir 7 est nettement favorisé alors que ceux des couloirs 2 et 12 sont
les plus lésés. Plus on est près du centre 7, plus on est favorisé et plus on s'en éloigne, moins on l'est.
Dans une seconde partie du texte, on a vu comment obtenir le même résultat en utilisant deux
dés non conventionnels dont les faces sont marquées 1 3 4 5 6 8 pour l'un et 1 2 2 3 3 4 pour l'autre.
Paires de dés équitables
À Strasbourg
Ce problème est abordé dans un texte de
l'IREM de Strasbourg où l'on voit que deux dés non conventionnels permettent d'obtenir des sommes équiprobables.
L'auteur du texte a cherché à obtenir des solutions telles que les sommes des deux dés soient des entiers consécutifs ayant les mêmes fréquences. Le probl&eagrave;me se r&e&cute;soud en factorisant un polynôme de la forme (1+x+x^2+...+x^q) dont les facteurs sont cyclotomiques.
Des exemples :
- en réalité on commencera par un contre-exemple (1+x^5)(1 + x + x^2+x^3+x^4+x^5) qui ne convient pas car l'un des termes du produit, 2x^2, a pour coefficient 2 et le concurrent de dossard 6 avance deux fois plus vite que les autres concurrents.
- (1+x^6)(1 + x + x^2+x^3+x^4+x^5) est équitable et permet d'utiliser les dés [0 0 0 6 6 6][0 1 2 3 4 5]
- 1+x+x^2+...+x^8 = (1+x+x^2)(1+x^3+x^6) nous donne les dés [0 0 1 1 2 2] et [0 0 3 3 6 6] dont les sommes 0 1 2 ... 9 sont équiprobables.
- 1 + x + ... + x^17 = (1+x^6+x^12)(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5) pour les deux dés [0 0 6 6 12 12] et [0 1 2 3 4
Dans ces exemples les faces des deux dés sont d'une régularité exemplaire, leurs valeurs forment des progressions arithmétiques.
Autre remarque : 2× 3 = 6, en plaçant deux nombres différents, chacun sur trois faces ou trois nombres, chacun sur deux faces du dé, le dé à six faces permet de remplacer la pièce à deux faces ou le tétraèdre à quatre faces.
Moins convenu et moins régulier pour un peu plus d'imprévu
Cette fois on cherche deux polynômes P et Q correspondant aux deux dés en s'imposant les contraintes suivantes.
- P et Q ont leur terme constant non nul
- Les coefficients des monômes de P et de Q sont positifs et ont pour somme 6 ou un diviseur de 6
- Les monômes non nuls du produit PQ ont même coefficient
- (1 + X) * (1 + X^2 + X^4 + X^7 + X^9 + X^11) = 1 + X + X^2 + X^3 + X^4 + X^5 + X^7 + X^8 + X^9 + X^10 + X^11 + X^12,
les deux dés sont [ 0 0 0 1 1 1 ] et [ 0 2 4 7 9 11 ].
Douze élèves se placeront sur les lignes 0 à 12, sauf sur la ligne 6 qui devra rester vide.
Le polynôme Q(x)=1 + X^2 + X^4 + X^7 + X^9 + X^11 se factorise en Q(x) = (1+x)*(1-x+x^2)*(1+x+x^2)*(1-x+x^2-x^3+x^4-x^5+x^6) et Q(1) = 2 * 1 * 3 * 1 = 6.
- (1 + X^2) * (1 + X + X^5 + X^6 + X^10 + X^13) et (1+ X^5) * (1 + X^2 + X^3 + X^9 + X^10 + X^11) et beaucoup d'autres ont des analogies avec l'exemple du 1), en particulier sur les nombres de termes des deux facteurs.
- (1 + X^3 + X^7) * (1 + X + X^2 + X^10 + X^11 + X^12) =
1 + X + X^2 + X^3 + X^4 + X^5 + X^7 + X^8 + X^9 + X^10 + X^11 + X^12 + X^13 + X^14 + X^15 + X^17 + X^18 + X^19
pour lequel les lignes 6 et 16 n'ont pas de concurrent.
P est irréductible et Q(x)=(1+x^2)*(1+x+x^2)*(1-x^2+x^4-x^6+x^8). - (1 + X^5 + X^7) * (1 + X + X^4 + X^10 + X^13 + X^14) ou encore (1 + X^4 + X^8) * (1 + X + X^11 + X^12 + X^13 + X^14)
- (1 + X^3) * (1 + X^5 + X^7). Cet exemple et certains autres sont simples à construire "à la main".
- (1 + X + X^6) * (1 + X^2 + X^9)
Pour prolonger
Dans tous les exemples du paragraphe précédent,les coefficients du polynôme PQ obtenu sont soit nuls, soit égaux à 1,
PQ est donc un polynôme très particulier. Il existe une littérature concernant les polynômes 0,1.
Je donne ci-dessous quelques liens qui je pense, permettent de débuter une recherche sur le sujet.
- Pour factoriser en ligne un polynôme à coefficient entiers ou pour déterminer la divisibilité par des polynômes cyclotomiques, par Michael Filaseta
- On three questions concerning 0,1-polynomials par Michael Filaseta, Carrie Finchet Charles Nicol Journal de théorie des nombres de Bordeaux, 18 no. 2 (2006), p. 357-370
- Reductibility of lacunary polynomials I par A. Shinzel.
- Zeros of polynomials with 0,1 coefficients, A. M. Odlyzko and B. Poonen, L'Enseign. Math., 39 (1993), pp. 317-348
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