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Deprecated: Non-static method plxUtils::write() should not be called statically in /homepages/3/d170528928/htdocs/jm/bn/plugins/stats/stats.php on line 98
Linenn - Jeux et Mathematiques - <br /> <b>Deprecated</b>: Non-static method plxUtils::strCheck() should not be called statically in <b>/homepages/3/d170528928/htdocs/jm/bn/core/lib/class.plx.show.php</b> on line <b>127</b><br /> Par l'absurde - linenn


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Par l'absurde

Par
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jp, le
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mercredi 30 décembre 2009 à
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18:23 |
Deprecated: Non-static method plxUtils::strCheck() should not be called statically in /homepages/3/d170528928/htdocs/jm/bn/core/lib/class.plx.show.php on line 448
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Un raisonnement par l'absurde,
– ce n'est pas montrer que P est absurde, (qui n'est qu'une démonstration de non‑P).
– c'est montrer que non‑P est absurde, (pour tout P, non‑non‑P entraîne P).

Voici trois courts extraits de livres et un commentaire intercalé. Pour terminer, une liste de liens complétée de temps en temps.

I ) Logique mathématique tome 1 page 236 (R. Cori et D. Lascar 1993 chez Masson)

Le corollaire suivant justifie le raisonnement par l'absurde :
COROLLAIRE : T ⊢ F si et seulement si T ∪ { ¬F} n'est pas cohérente.


II) Logique, ensembles, catégories Le point de vue constructif pages 4 et 5 (Pierre Ageron 2000 chez ellipses)

Principe du tiers exclu. &ndash Pour toute proposition P, on a P ou non P.
Principe du raisonnement par l'absurde. &ndash Pour toute proposition P, non non P entraîne P.
...On l'appelle aussi quelquefois principe de la double négation, ce qui prête à moins d'ambiguité...
P. A. désigne ce principe par (R.A.) et montre qu'il est équivalent au principe du tiers exclu (TE)
On dit souvent, mais c'est à tort, qu'on raisonne par l'absurde quand, pour démontrer non P, on montre que P conduit à une contradiction... il semble bien difficile d'imaginer comment procéder autrement pour montrer non P
Principe du raisonnement par contraposition. &ndash Si Non Q implique non P, alors P implique Q.
On montre que les principes du raisonnement par contraposition (R.C.) et du raisonnement par l'absurde (R. A.) sont équivalents.


III) Commentaire
Ces précisions sont importantes à connaître, certaines méthodes de démonstrations sont des reformulations du principe du tiers exclu (T. E.).
(Le "faux raisonnement par l'absurde" ne repose pas sur (T.E.), il est la définition de non P : affirmer non P c'est constater que P conduit à une contradiction)

Un certain raisonnement sur l'irrationnalité de √2 ne fait pas appel à (T.E.) et c'est à tort qu'il est présenté comme exemple de raisonnement par l'absurde.
Ainsi W donne une définition correcte de (R.A.) contredite au paragraphe suivant par des exemples qui ne relèvent pas de (R.A.).
montrer Non-P, c'est ça, c'est montrer que P est faux, ce n'est pas exactement un raisonnement par l'absurde.

Il n'est pas question de jouer sur les mots et dire que √2 est irrationnel. Si on définit bien irrationnel par non‑rationnel, montrer que √2 ne peut pas être rationnel c'est justement montrer qu'il est irrationnel, sans faire intervenir de double négation.
(Ceci n'a vraiment d'intérêt que si l'ensemble des rationnels a été construit sans faire appel au tiers exclu et que l'on s'impose un point de vue constructif).


IV) Le point Aveugle I Cours de Logique pages 6 et 8 Vers la Perfection (Jean-Yves Girard 2006 chez Hermann)
..., où ⊥ est le symbole logique pour l'absurdité...
On sait en fait depuis 1932 (Gödel, encore lui), que la logique classique se traduit dans la logique intuitionniste de façon fidèle : il suffit de mettre des doubles négations « partout ». En particulier le tiers-exclu lui-même, une fois traduit en ¬¬(A ∨ ¬A) devient prouvable en logique intuitionniste et il n'est pas plus « risqué » de l'ajouter.


V) Autres documents, liens...

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