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Deprecated: Methods with the same name as their class will not be constructors in a future version of PHP; plxErreur has a deprecated constructor in /homepages/3/d170528928/htdocs/jm/bn/core/lib/class.plx.erreur.php on line 9

Deprecated: Methods with the same name as their class will not be constructors in a future version of PHP; plxGlob has a deprecated constructor in /homepages/3/d170528928/htdocs/jm/bn/core/lib/class.plx.glob.php on line 10

Deprecated: Methods with the same name as their class will not be constructors in a future version of PHP; plxRecord has a deprecated constructor in /homepages/3/d170528928/htdocs/jm/bn/core/lib/class.plx.record.php on line 10

Deprecated: Methods with the same name as their class will not be constructors in a future version of PHP; plxMotor has a deprecated constructor in /homepages/3/d170528928/htdocs/jm/bn/core/lib/class.plx.motor.php on line 10

Deprecated: Methods with the same name as their class will not be constructors in a future version of PHP; plxFeed has a deprecated constructor in /homepages/3/d170528928/htdocs/jm/bn/core/lib/class.plx.feed.php on line 9

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Deprecated: Methods with the same name as their class will not be constructors in a future version of PHP; plxShow has a deprecated constructor in /homepages/3/d170528928/htdocs/jm/bn/core/lib/class.plx.show.php on line 9

Deprecated: Non-static method plxDate::microtime() should not be called statically in /homepages/3/d170528928/htdocs/jm/bn/core/lib/class.plx.motor.php on line 57

Deprecated: Non-static method plxUtils::getGets() should not be called statically in /homepages/3/d170528928/htdocs/jm/bn/core/lib/class.plx.motor.php on line 58

Deprecated: Non-static method plxUtils::mobileDetect() should not be called statically in /homepages/3/d170528928/htdocs/jm/bn/core/lib/class.plx.motor.php on line 66

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Deprecated: Non-static method plxDate::dateToIso() should not be called statically in /homepages/3/d170528928/htdocs/jm/bn/core/lib/class.plx.motor.php on line 468

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Deprecated: Methods with the same name as their class will not be constructors in a future version of PHP; plxStats has a deprecated constructor in /homepages/3/d170528928/htdocs/jm/bn/plugins/stats/stats.php on line 9

Deprecated: Non-static method plxUtils::getIp() should not be called statically in /homepages/3/d170528928/htdocs/jm/bn/plugins/stats/stats.php on line 130

Deprecated: Non-static method plxUtils::getIp() should not be called statically in /homepages/3/d170528928/htdocs/jm/bn/plugins/stats/stats.php on line 131

Strict Standards: date(): We selected 'Europe/London' for 'BST/1.0/DST' instead in /homepages/3/d170528928/htdocs/jm/bn/plugins/stats/stats.php on line 142

Deprecated: Non-static method plxUtils::write() should not be called statically in /homepages/3/d170528928/htdocs/jm/bn/plugins/stats/stats.php on line 98
Linenn - Jeux et Mathematiques - <br /> <b>Deprecated</b>: Non-static method plxUtils::strCheck() should not be called statically in <b>/homepages/3/d170528928/htdocs/jm/bn/core/lib/class.plx.show.php</b> on line <b>127</b><br /> Les dés du colonel - linenn


Deprecated: Non-static method plxUtils::strCheck() should not be called statically in /homepages/3/d170528928/htdocs/jm/bn/core/lib/class.plx.show.php on line 381
Les dés du colonel

Par
Deprecated: Non-static method plxUtils::strCheck() should not be called statically in /homepages/3/d170528928/htdocs/jm/bn/core/lib/class.plx.show.php on line 393
jp, le
Deprecated: Non-static method plxDate::dateIsoToHum() should not be called statically in /homepages/3/d170528928/htdocs/jm/bn/core/lib/class.plx.show.php on line 405

Deprecated: Non-static method plxDate::getCalendar() should not be called statically in /homepages/3/d170528928/htdocs/jm/bn/core/lib/class.plx.date.php on line 109

Deprecated: Non-static method plxDate::getCalendar() should not be called statically in /homepages/3/d170528928/htdocs/jm/bn/core/lib/class.plx.date.php on line 110
vendredi 25 décembre 2009 à
Deprecated: Non-static method plxDate::dateIsoToHum() should not be called statically in /homepages/3/d170528928/htdocs/jm/bn/core/lib/class.plx.show.php on line 417

Deprecated: Non-static method plxDate::getCalendar() should not be called statically in /homepages/3/d170528928/htdocs/jm/bn/core/lib/class.plx.date.php on line 109

Deprecated: Non-static method plxDate::getCalendar() should not be called statically in /homepages/3/d170528928/htdocs/jm/bn/core/lib/class.plx.date.php on line 110
14:43 |
Deprecated: Non-static method plxUtils::strCheck() should not be called statically in /homepages/3/d170528928/htdocs/jm/bn/core/lib/class.plx.show.php on line 448
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au départ
Prêts au départ

Dans le livre Les probabilités à l'école, publié en 1973 aux éditions CEDIC, les auteurs Maurice Glaymann et Tamas Varga tracent une grille dans la cour de l'école et alignent quatorze élèves numérotés de 1 à 14, sur la ligne de départ.

Grille dans la cour
grille dans la cour de l'école

Ensuite, à chaque lancer de deux dés, l'un rouge, l'autre bleu, on calcule la somme des deux dés et l'enfant qui porte ce numéro avance d'une case vers la ligne d'arrivée.
Le premier au but, gagne, comme d'habitude.
« Ce jeu excite beaucoup les enfants. Très vite, ils s'aperçoivent... »
Je vous laisse découvrir ce jeu en famille ou en déplaçant des pions sur une grille.

Terminale

On demande en exercice la loi de probabilité de la variable aléatoire Y correspondant à la somme des points des deux dés parfaitement équilibrés.

Loi
loi de la v.a.

Multi-ensembles

X = {1, 2, 3, 4, 5, 6} et
X + X = {2, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5, ...,11, 11, 12}

Polynômes

P(X) = X1+X2+X3+X4+X5+X6
P(X) × P(X) = 1X2 + 2X3 + 3X4 + 4X5 + 5X6 + 6X7 + 5X8 + 4X9 + 3X10 + 2X11 + X12

Calculette

1111110 * 1111110 = 11111102 = 1234565432100
lisez 1111110 en partant de la droite du nombre : 0 faces 0, 1 face 1, 1 face 2...
et le résultat 1234565432100 vous indique, toujours en partant de la droite, qu'il n'y a aucune face zéro ni aucune face un, 1 face deux, 2 faces trois, 3 faces 4 etc.

Les dés de Sicherman

Autres dés

Peut-on obtenir le même résultat avec deux dés différents des dés normaux ?

Le colonel Sicherman s'est demandé si deux dés non conventionnels permettaient d'obtenir le même résultat et rédigea un programme en perl.

×

Les deux dés à six faces trouvés par le colonel sont

1 3 4 5 6 8     et       1 2 2 3 3 4
dés
sont les faces des dés de Sicherman



Pour le vérifier, vous pouvez entrer dans la calculette ci-dessus les deux valeurs 101111010 × 12210

L'écriture 12210 indique (n partant de la droite) qu'il y a zéro face 0, une face 1, deux faces 2, deux faces 3 et une face 4, ce qui donne en changeant l'ordre : un deux deux un zéro = 1 2 2 1 0. Les faces du dé sont donc 1 2 2 3 3 4 c.-à-d. une face 1, deux faces 2, deux faces 3 et une face 4.

Recherche des solutions

Factorisation de nombres entiers

La recherche des solutions pour les dés utilise (par exemple) la factorisation de nombres entiers
Factorisation des nombres
11111102 = (2×3×5×7×11×13×37)2 = 2×2×3×3 ×5×5×7×7×11×11×13×13×37×37
12210 = 2×3×5×11×37
101111010 = 2×3×5×7×7×11×13×13×37
mais il faut que les deux nombres obtenus se multiplient ensuite sans rentenues1

Factorisation des polynômes

Les polynômes sont P(X) = X1+X2+X3+X4+X5+X6 et son carré.
P(X) = X (1+X1+X2+X3+X4+X5)

Calculons d'abord
(1-X) P(X)
= X (1-X6 )
= X (1-X3)(1+X3)
= X (1-X)(1+X+X2)(1+X)(1-X+X2)
On met donc en évidence des polynômes cyclotomoiques.
d'où P(X) = X (1+X+X2)(1+X)(1-X+X2) est un produit de quatre facteurs
La seule façon d'obtenir deux facteurs dont tous les coefficients sont des entiers positifs est de rassembler ainsi A(X) = X (1+X) (1+X+X2) = X1+2X2+2X3+X4
et B(X) = X (1+X)(1+X+X2)(1-X+X2)2=X+X3+X4+X5+X6+X8
C'est, à l'ordre près des facteurs A et B, la seule autre solution.

Grille dans la cour
les probabilités à l'école (1973)

Suite Une compétition plus équitable

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